BANGUN RUANG

BANGUN RUANG

Bangun ruang merupakan bangun matematika (matematica) yang memiliki isi atau volume. Bangun ruang dalam matematika dibagi menjadi beberapa bangun ruang yakni sisi, rusuk dan titik sudut.

Sisi merupakan bidang pada bangun ruang yang membatasi antara bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya, Rusuk merupakan pertemuan dua sisi yang berupa ruas garis pada bangun ruang sedangkan Titik sudut adalah titik dari hasil pertemuan rusuk yang berjumlah tiga atau lebih.

Pada umumnya bangun ruang yang telah kita kenal adalah balok, kubus, prisma, limas, kerucut, tabung dan bola. Pada setiap bangun ruang tersebut mempunyai rumusan dalam menghitung luas maupun isi/volumenya.

Macam-macam Bangun Ruang

1. KUBUS

Kubus adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh

enam buah sisi persegi yang kongruen ( sama dan sebangun )

• Kubus disamping disebut : Kubus ABCD. EFGH

atau

• ABCD disebut bidang alas atau bidang dasar
• EFGH disebut bidang atas atau tutup.

1. Sifat-sifat Kubus

1. Mempunyai 6 buah sisi yang kongruen berbentuk persegi.
2. Mempunyai 12 buah rusuk yang sama panjang, yaitu :

AB, BC, CD, AD  rusuk alas

AF, FG, GH, EH  rusuk atas

AE, BF, CG, DH  rusuk tegak

3. Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu :

A, B, C, D, E, F, G, dan H

4. Pasangan sisi kubus yang saling berhadapan saling sejajar, sedangkan sisi kubus yang berpotonngan saling tegak lurus.
5. Mempunyai 4 buah diagonal ruang, yaitu :

EC, HB, AG, dan DF

6. Mempunyai 12 buah diagonal bidang, yaitu :

AF, BE, DG, CH, AH, DE, BG, CF, AC, BD, EG, dan HF

7. Mempunyai 2 buah bidang diagonal, yaitu :

BCHE dan ADGF

2. Luas Permukaan Kubus

Luas kubus = 6 x luas sisi persegi

= 6 x sisi x sisi

= 6 s²

Luas kubus = 6 s² , Dengan : s = panjang rusuk kubus

3. Volume kubus

Volume kubus = sisi x sisi x sisi

= s x s x s

Volume kubus = s³

Dengan s : panjang rusuk kubus

Contoh soal

1. Hitung Luas permukaan kubus dengan panjang rusuk 7 cm !

Jawab :

Luas permukaan kubus = 6 x s²
= 6 x 72
= 6 x 49
= 294 cm²

2. Hitung Luas permukaan kubus jika luas salah satu sisinya 10 cm² !
   Jawab :

Luas salah satu sisi = 10
s² = 10
Luas permukaan kubus = 6 x s²
= 6 x 10²
= 6 x 100
= 600 cm²

3. Luas permukaan kubus adalah 600 cm². Hitung panjang rusuk kubus tersebut !Jawab :

Luas permukaan kubus = 6 x s² 600 = 6 x s²

s² = 600/6

s² = 100

s = 10 cm

2. BALOK

Balok adalah suatu benda ruang yang dibatasi

oleh enam daerah persegi panjang yang terdiri

dari atas tiga pasang yang kongruen.

• Balok dibawah disebut : balok ABCD, EFGH
• Tiga pasang persegi panjang yang kongruen, yaitu :

ABCD kongruen dengan EFGH

ABFE kongruen dengan DCGH

ADHE kongruen dengan BCGF

1. Sifat-sifat Balok

1. Mempunyai 6 bidang sisi berbentuk persegi panjang, yaitu :

ABCD, EFGH, ABFE, DCGH, ADHE, dan BCGF

2. Mempunyai 3 kelompok rusuk, dimana setiap kelompok terdiri atas 4 rusuk yang sama dan sejajar.

AB = DC = EF = HG = panjang balok

AD = EH = BC = FG = lebar balok

AE = DH = BF = CG = tinggi balok

3. Mempunyai 8 buah titik sudut, yaitu :

A, B, C. D, E, F, G, dan H

2. Luas balok

Rumus :

Luas balok = 2 {( p x ) + ( p x t ) + ( x t )}

Dengan : p = panjang balok

 = lebar balok

t = tinggi balok

3. Volume balok

Rumus :

Volume balok = p x  x t

4. Panjang Diagonal Ruang Balok

Rumus :

Panjang diagonal :

5. Jumlah Panjang Seluruh Rusuk pada Balok

Rumus :

Jumlah panjang seluruh rusuk = 4 (p x  x t)

Contoh soal

1. Hitunglah luas permukaan balok tampak seperti pada gambar !

Jawab :
Luas permukaan balok       =  2 x ( p x l +  p x t  + l x t )
                                        = 2 x ( 25 x 12 + 25 x 15 + 12 x 15 )  
                                        =  2 x ( 300 + 375 + 180 ) cm²
                                        =  2  x 855 cm²

                                                                                                                                                                                                                                                                                                = 1.710 cm²

2. Luas sebuah permukaan balok adalah 22 cm². Jika ukuran panjang 3 cm dan lebarnya 2 cm,
       hitung tinggi balok itu !

Jawab :

Luas permukaan    = 2 x ( p x l +  p x t  + l x t )
                      22   = 2 x ( 3 x 2  + 3 x t  + 2 x t )
                      22   = 2 x  ( 6 + 3t + 2 t )
                      11   =  6 + 5t
                      5t    =  11 – 6
                      5t    = 5
                       t     = 1
Jadi tinggi balok itu adalah 1 cm.

3. PRISMA

Prisma adalah suatu bangun ruang yang dibatasi oleh dua bidang yang sejajar dan beberapa bidang lain yang saling memotong menurut garis yang sejajar.

• Gambar disamping disebut : prisma tegak ABC . DEF
• Segitiga ABC = segitiga bidang atas prisma
• Segitiga DEF = segitiga bidang alas prisma
• AD = BE = CF = rusuk tegak prisma yang

tegak lurus pada bidang alas dan bidang atas.

1. Sifat-sifat Prisma

1. Bidang alas dan bidang atas prisma dapat berupa segi banyak.
2. Bidang alas dan bidang atas prisma sejajar dan kongruen

2. Luas prisma

Rumus :

Luas prisma : (2 x luas alas) + luas selubung

Dengan :

Luas selubung : keliling bidang alas x rusuk tegak

3. Volume prisma

Rumus :

Volume prisma = luas alas x tinggi

Contoh soal

1. Hitunglah volume prisma segilima jika luas alasnya 50 cm² dan tinggi 15 cm !

Jawab :

Volume prisma =  luas alas x tinggi

=  50 x 15

=  750 cm³

2. Hitunglah luas permukaan dari prisma segitiga siku suku dengan panjang sisi 6 cm, 8 cm, dan 10 serta tinggi prisma 10 cm!

Jawab :

Luas permukaan = (2 x luas alas) + (keliling alas x tinggi)

= (2 x 1/2 x 6 x 8) + {(6 + 8 + 10) x 10)

= 48 + 220

= 268 cm²

4. TABUNG

Tabung adalah suatu bangun ruang yang berbentuk

prisma tegak yang bidang alasnya berupa lingkaran.

1. Sifat-sifat Tabung

1. Bidang alas dan bidang atas berupa lingkaran

dan jari-jari yang sama.

2. Tinggi tabung adalah jarak antara titik pusat lingkaran atas dan titik pusat lingkaran alas.

2. Luas Tabung

Rumus :

Luas tabung = (2 x luas alas) + luas selubung

Dengan :

Luas tabung = keliling lingkaran x tinggi

Atau :

Luas tabung = 2 πr² + 2 π rt

= 2 πr (r+t)

= πd (r+t)

Dengan : π = 3,14 atau

r = jari-jari lingkaran

t = tinggi tabung

d = diameter lingkaran

3. Volume Tabung

Rumus : V = luas lingkaran x tinggi

V = πr² x t

V = πr²t

Contoh soal

1. Sebuah tabung memiliki diameter dan tinggi masing masing ukuranyya adalah 14 dan 10. Berapakah Luas permukaan yang dimiliki tabung?

Jawab : 2 × π × r (r+t)
2 × 22/7 × 7 (7 + 10)
44 (17) = 748

Alasan : Menggunakan 22/7 karena jari jari adalh kelipatan 7. Sebelumnya untuk mencari jari jari (r), diameter dibagi 2 terlebih dahulu. Kemudian anda hitung 2 × 22 sama dengan 44, 7 dicoret dengan 7 yang satunya, lalu jumlahkan 7 dan 10 menjadi 17. Kemudian anda kalikan dan hasilnya 748.

2. Diketahui sebuah tabung yang memiliki r = 14 dan tinggi 25. Tentukan Luas selimut tabung tersebut !
   Jawab : 2 × π × r × t
   2 × 22/7 × 14 × 25
   44 × 50 = 2200Alasan : Menggunakan 22/7 karena jari jari adalh kelipatan 7. 2 × 22 samadengan 44, kemudian 7 dicoret sama 14, 14 menjadi 2 dan 7 habis, kemudian 2 × 25= 50, Lalu kalikan 44 dan 50 = 2200

3. Sebuah tabung memiliki r=21 dan tinggi 75, maka berapakah volumenya ?
   Jawab : π × r² × t
   22/7 × 21 × 21 × 75
   22 × 3 × 21 × 75
   66 × 1575
   =103.950Alasan : Menggunakan 22/7 karena jari jari adalh kelipatan 7. Coret 7 dengan 21 dan hasilnya 7=1 serta 21=3, lalu kalikan 22 dengan 3 dan hasilnya 66, kemudian 21 dikalikan 75 sama dengan 1575, terakhir kalikan 66 dengan 1575 dan hasilnya adalah 103.950

5. LIMAS

Limas adalah suatu bangun ruang dengan bidang alas berupa segi banyak, dan dari bidang alas dibentuk sisi berupa segitiga yang bertemu pada satu titik.

Contoh-contoh limas :

1. Sifat-sifat limas

1. Pada limas segitiga, bidang sisinya berjumlah 4 buah, pada limas segi empat, bidang sisinya ada lima buah.
2. Limas yang bidang alasnya beraturan ddan titik kaki garis tinnginya berimpit denngan pusat bidang alas disebut limas beraturan.
3. Garis tinggi sisi tegak yang di tarik dari puncak suatu limas beraturan disebut apotema.

2. Luas limas

Rumus :

Luas limas = luas alas + luas selubung limas

3. Volume limas

Rumus :

Volume limas = x luas alas x tinggi limas

Contoh soal

1. Suatu limas segi empat beraturan sisi tegaknya terdiri atas empat segitiga sama kaki yang kongruen. Diketahui luas salah satu segitiga itu 135 cm² dan tinggi segitiga dari puncak limas 15 cm. Hitunglah luas permukaan limas.

Penyelesaian:

Kita harus mencari luas alas limas. Akan tetapi untuk mencari luas alas anda harus mencari panjang sisi segi empat beraturan tersebut yang sama dengan alas segitiga, yakni:

L∆ = ½ x a x t

135 cm² = ½ x a x 15 cm

a = 2 x 135 cm²/15 cm

a = 18 cm

Jadi panjang sisi segiempat tersebut adalah 18 cm

Sekarang cari luas segiempat yakni dengan rumus luas persegi, yakni:

L segiempat = s²

L segiempat = (18 cm)²

L segiempat = 324 cm²

Hitung luas permukaan:

Luas permukaan = L segiempat + 4 x L∆

Luas permukaan = 324 cm² + 4 x 135 cm²

Luas permukaan = 324 cm² + 540 cm²

Luas permukaan = 864 cm²

Jadi luas permukaan limas tersebut adalah 864 cm²

2. Alas sebuah limas segi empat beraturan berbentuk persegi. Jika tinggi segitiga 17 cm dan tinggi limas 15 cm, tentukan luas permukaan limas.

Penyelesaian:

Jika dibuat gambarnya akan tampak seperti gambar di bawah ini.

Untuk mencari luas permukaan limas yang pertama anda cari adalah panjang rusuk segiempat. Dalam hal ini AB = 2 x EF. EF dapat dicari dengan teorema Pythagoras.

EF² = FT² – ET²

EF² = 17² – 15²

EF² = 289 – 225

EF² = 64

EF = √64

EF = 8 cm

Hitung panjang sisi segiempat (AB) yakni:

AB = 2 x EF

AB = 16 cm

Hitung luas alas yang bentuknya persegi yakni:

Luas alas = AB²

Luas alas = (16 cm)²

Luas alas = 256 cm²

Hitung luas segitiga yakni:

Luas ∆ = ½ x AB x FT

Luas ∆ = ½ x 16 x 17

Luas ∆ = 136 cm²

Hitung luas permukaan limas:

Luas permukaan = Luas alas + 4 x Luas ∆

Luas permukaan = 256 cm² + 4 x 136 cm²

Luas permukaan = 256 cm² + 544 cm²

Luas permukaan = 800 cm²

Jadi luas permukaan limas tersebut adalah 800 cm² .

3. Sebuah bangun terdiri atas prisma dan limas seperti pada gambar di bawah ini. 

Jika semua rusuk bangun tersebut masing-masing panjangnya 8 cm, hitunglah luas permukaan bangun tersebut.

Penyelesaian:

Kita harus mencari tinggi segitiga (t∆) dengan teorema phytagoras.

t∆ = √(8² – 4²)

t∆ = √(64 – 16)

t∆ = √48

t∆ = 4√3 cm

Menghitung luas segitiga (L∆), yakni:

L∆ = ½ x 8 cm x 4√3 cm

L∆ = 16√3 cm²

Menghitung luas alas limas, yakni:

L alas = 8 cm x 8 cm

L alas = 64 cm²

Menghitung L. sisi prisma, yakni:

L. sisi prisma = 8 cm x 8 cm

L. sisi prisma = 64 cm²

Menghitung luas permukaan limas, yakni:

L. Permukaan = L. alas + 4xL∆ + 4xL.sisi prisma

L. Permukaan = 64 cm² + 4 x 16√3 cm² + 4 x 64 cm²

L. permukaan = 64 cm² + 64√3 cm² + 256 cm²

L. permukaan = 320 cm² + 64√3 cm²

L. permukaan = 64(5 + √3) cm²

Jadi luas permukaan bangun tersebut adalah 64(5 + √3) cm² .

6. KERUCUT

Kerucut adalah suatu bangun ruang yang

merupakan suatu limas beraturan yang bidang

alasnya berbentuk lingkaran.

1. Sifat-sifat kerucut

1. Alas berbentuk lingkaran.
2. Tinggi kerucut (t) adalah jarak antara puncak kerucut dengan pusat lingkaran alas kerucut.
3. Panjang garis pelukis kerucut (s) = TA = TB.

4. Selimut kerucut ditunjukan oleh T. ABA’.

2. Luas kerucut

Rumus :

Luas kerucut = luas alas + luas selimut kerucut

Luas alas = πr²

Luas selimut = πrs

Jadi : Luas kerucut = πr (r + s)

Dengan : r = jari-jari lingkaran

s = garis pelukis

3. Volume kerucut

Rumus :

Volume kerucut = x luas alas x tinggi atau V = πr² t

Contoh soal

1. Sebuah topi ulang tahun berbentuk kerucut yang memeiliki ukuran jari jari (r) 28 dan t=10, berapakah volumenya ?jawab : 1/3 × π × r² × t
   1/3 × 22/7 × 28 × 28 × 10
   1/3 × 22 × 4 × 28 × 10
   1/3 × 88 × 280
   1/3 × 24640
   =8213,33

2. Sebuah benda kerucut diketahui memiliki r=7 dan sisi miring (s)=10, berapakah luas selimutnya ?jawab : π × r × s
   22/7 × 7 × 10
   22 × 10 = 220

3. Diketahui sebuah kerucut memiliki ukuran jari jari = 14 dan sisi miring (s)= 25, berapakah luas permukaannya?jawab : π × r (s + r)
   22/7 × 14 (25 + 14)
   22 × 2 (39)
   44 × 39 = 1716.

7. BOLA

Bola adalah suatu bangun ruang yang terjadi

jika setengah lingkaran diputar mengelilingi

diameternya.

1. Luas bola

Rumus :

Luas bola = 4 πr²

2. Volume bola

Rumus : Volume bola = πr³

Contoh soal

1. Adik membeli sebuah tempat minum berbentuk setengah bola, dengan diameter  14 cm, jika adik ingin mengisinya penuh dengan susu, berapa volume susu yang diperlukan?Jawab
   Volume bola  = πr3
   Volume setengah bola  = πr3
   V= x x 7 x 7 x 7
   V = = 718,67 cm3